7주차: 손효준 선생님
범위: 수학의 모험 8, 9장

지난 시간에는 유클리드의 창 3장에 해당하는 내용을 다뤘습니다.
유클리드의 제5공리, '임의의 직선이 두 직선과 교차할 때, 교차되는 각의 내각의 합이 두 직각(180도)보다 작을 때, 
두 직선을 계속 연장하면 두 각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 교차한다'는 플레이페어에 의해 한 직선 바깥의 점을 지나면서 그 직선과 평행한 직선은 하나 밖에 없다로 등치되었습니다.(오늘날 우리가 흔히 5공리로 알고 있는 내용입니다)
유클리드의 5공리는 다른 공리들에 비해, 그 자명성에 의심의 소지가 컸던 것 같습니다. 여러 사람이 그 증명을 시도했기 때문입니다. 
프톨레마이오스, 타비트 등이 그 증명을 시도했습니다. 하지만 이들은 모두 유사한 오류를 범했습니다. 평행선 공리가 성립할 때 도출 가능한 특성들을 활용해 평행선 공리를 증명하고자 했던 것입니다.

시간이 지나 가우스에 의해 이 평행선 평행선 공리가 부정되었을 때 탄생하는 기하학의 가능성이 제기됩니다. 
평행한 직선은 하나 밖에 없다를 두 가지로 부정할 수 있습니다. 무수히 많다와 없다.
전자가 쌍곡선 공간, 후자가 타원공간입니다. 곡률이 들어가 있는 뚜껑과 유사한 형태가 있다고 가정했을 때 그 뚜껑을 밑에서 본 것이 전자, 위에서 내려다 본 것이 후자라고 할 수 있겠습니다.

5공리를 부정한 두 비유클리드 기하학이라고 하더라도 다른 공리들과 충돌해서는 안 되었기에 유클리드기하학에서의 직선의 정의라든가, 한 직선은 양쪽으로 무한히 연장될 수 있다든가 하는 공리들의 재해석이 이루어졌습니다. 
그러나 이런 노력에도 불구하고 모든 문제들이 완벽하게 해결되지는 못 했습니다.

이는 내부적으로 무모순적인 공리계를 성립시킬 수 없다는 괴델의 불완전성 정리를 예감하게 하는 것 같습니다. 

다음 세미나(6/26 토) 무한의 개념과 관련해 칸토어의 집합론을 다룹니다. 세미나 시간에 무한을 다루다가 미쳐버린 사람들의 이야기를 했는데요, 정신건강에 유의하면서 세미나 때 뵙겠습니다.