오늘날에는 수학이 과학과 단절되어 있다. 지난 100년간 알맹이가 있고 유용성이 있는 주제를 제공해 오던 동기에 충실한 사람들과 구미가 당기는대로 정처 없이 떠돌며 이것저것을 연구하는 사람들 사이에 분열이 일어났다.

수학 자체를 위한 수학 연구는 처음부터 논란을 불러일으켰다. 푸리에는 『열에 관한 해석학적 이론』에서 물리학 문제에 수학을 응용하려는 듯을 열정적으로 표명했다.

“자연에 관한 깊이 있는 연구는 수학적 발견의 가장 풍부한 보고이다. ……그 주요 특성은 명료함이다. ……수학은 마치 우주의 계획이 지니는 통일성과 간결성을 증명하려는 듯, 또 자연 만물을 다스리는 불변의 질서를 더욱 명료하게 하려는 듯, 이 현상들을 동일한 언어로 해석해 낸다.”

그러나 야코비는 “푸리에 같은 과학자는 과학의 유일한 목적이 인간 정신의 고양이며 따라서 정수론에 관한 문제는 행성 체계에 대한 문제만큼 가치 있다는 사실을 알아야한다.”면서 푸리에의 주장을 반박했다.

물론, 수리물리학자들은 야코비의 견해에 동조하지 않았으며 수학자들도 순수 수학을 고집하는 새로운 경향에 대해 비판했다.

클라인은 ‘현대 학문의 급격한 발달 과정에서 수학은 점점 더 고립되어 갈 위험에 처해 있다는 생각을 금할 수 없다.’고 추상적인 순수 수학 경향에 대해 비판하였으며, 푸앵카레는 “인간 정신은 우리 모두 힘을 기울여야 하는 자연 탐구라는 방향을 지향하고 있다.”고 말했다.

리하르트 쿠란트 역시 순수 수학을 강조하는 경향에 대해 개탄했다.『수리물리학의 방법』초판 서문에서 쿠란트는 다음과 같은 말로 책을 시작했다.

예로부터 수학자들은 해석학의 문제 및 방법과 물리학의 직관적 아이디어 사이에 존재하는 긴밀한 관계로부터 강력한 자극을 받았다. 그런데 지난 수십 년 동안 우리는 이런 관계가 약화되어 가는 현상을 지켜보았다. (이하 생략)

다시 1939년에 쿠란트는 이렇게 썼다.

……유기적인 전체를 고려하는 자세를 취할 때, 그리고 내적 필요에 부응할 때에만 자유로운 마음은 과학적 가치를 지니는 결과를 성취해 낼 수 있다.

수리물리학자인 존 L. 싱은 수학이 과학과 단절되어 있는 상황에 대해 다음과 같이 다소 장황하게 기술했다.

대다수 수학자들은 수학 자체에 속하는 아이디어만을 가지고 연구한다. ……수학의 미래에 끼칠영향을 차치하더라도 수학자들의 고립으로 여타의 과학들은 든든한 후원자를 잃는 피해를 입었다. ……인간사에서 변화와 죽음을 피할 수 없듯이, 아이디어의 세계에서도 변화와 죽음을 피할 수 없다. ……물리학은 수학과 더불어 시작되었고 수학이 물리학에서 사라진 후에도 오랫동안 물리학은 없어지지 않을 것이다.

폰 노이만 역시 경고의 말을 던질 만큼 상황을 우려하고 있었다. 수필 「수학자」에서 그는 다음과 같이 말했다.

한 수학 분야가 그 경험적 근원으로부터 지나치게 멀어지면, 또는 두 세대나 세 세대가 지나 ‘현실’로부터 간접적 영향만을 받게 되면 그 분야는 중대한 위기를 맞게 된다. ……다시 말해서 본래의 경험적 원천에서 멀어지거나 지나치게 추상화를 수용하면 그 수학 분야는 퇴화될 위험에 직면한다. ……어쨌거나 이런 상태에 이르면 유일한 처방은 젊음을 가져다주는 원천으로 돌아가는 것이라고 생각한다. 즉 경험에서 직접적으로 나오는 아이디어를 주입받는 일이다.

그러나 순수 수학만을 추구하는 경향은 사라지지 않고 있다. 하지만 순수 수학만을 추구하는 수학자들 또한 앞에서 인용한 비판에도 대응할 필요성을 느끼고 있다. 순수 수학을 옹호하기 위해 목소리를 높이는 사람들은 과거 수많은 주요 연구 성과들은 단순한 지적 호기심의 산물이었지만 나중에 중요한 곳에 응용되었다고 주장하나 이것은 무지의 소치요, 역사의 왜곡이다. 이 순수 수학자들이 역사에서 끄집어 내고 있는 예들을 몇 가지 살펴보자.

① 포물선, 타원 그리고 쌍곡선에 관한 그리스 인들의 연구

:아폴로니오스는 단순히 수학적 호기심을 만족시키기 위해 이런 곡선들을 연구했다고 한다. 그런데 1,800년이 지난 뒤에 태양 주위를 도는 행성의 운동을 기술할 때 필요한 곡선이 바로 타원임을 케플러가 발견했다. 이로써 원뿔 곡선 이론이 응용되기 시작했다. 그러나 오토 노이게바우어의 학설에 따르면, 원뿔 곡선은 해시계를 만드는 과정에서 생겨났다고 한다.

② 비유클리드 기하학

:2000년 동안 유클리드 기하학의 공리는 물질 세계에 대한 자명한 진리로 여겨졌다. 그런데 유클리드가 평행선의 존재성을 곧바로 가정하지 않고 다소 신중하고 기묘하게 표현한 평행선 공리는 다른 공리처럼 그렇게 자명해 보이지 않았다. 따라서 많은 수학자들이 이 공리를 더욱 자명한 형태로 고쳐 놓기 위해 많은 노력을 기울였고 이 과정에서 평행선 공리가 반드시 참은 아니며 평행선에 대한 다른 공리도 유클리드의 평행선 공리 못지않게 물질 세계를 묘사한다는 사실을 깨달았다. ……이 이야기의 요지는 유클리드 평행선 공리의 참됨을 밝히려는 노력이 ‘두뇌의 사변적 유희’가 아니라 수학 및 응용 수학의 수많은 정리를 뒷받침하는 기하학의 참됨을 확보하려는 시도였다는 점이다.

③ 리만의 연구 성과

: 리만은 그 당시 알려져 있던 비유클리드 기하학을 일반화했고 이로써 리만 기하학이라는 이름으로 알려진 다양한 여러 비유클리드 기하학을 도입했다. ……리만 기하학의 적합성은 수학자들이 씨름해 왔던 근본적인 물리학 문제, 즉 물리적 공간의 본질에 대한 연구의 소산이다.

④군론(group theory)

: 다항 방정식의 해법과 같은 매우 기초적인 문제에서 생겨난 분야가 다른 수많은 수학 문제와 물리학 문제에 적용될 수 있다. 분명히 군론은 실질적인 문제와 무관하게 생겨나지 않았다.

군론 이론의 형성 동기는 수정, 다이아몬드, 암석 등과 같은 결정의 구조를 연구한 오귀스트 브라베의 연구에서도 나왔다.

브라베의 연구에서 카미유 조르당은 무한군, 즉 평행 이동과 회전 변환으로 이루어진 군의 연구가 필요하다는 점을 인식했다.

⑤행렬 이론, 텐서 해석학, 위상 수학 등, 순수 수학의 산물이라고 주장하는 여타의 분야

: 애초에 순수 수학으로 생겨났지만 이후에 응용 가능성이 확인되었다고 여겨지던 분야들이 그 역사를 살펴보면 실제로는 물리학 문제나 물리학 문제와 직접 연관된 주제를 연구하는 과정에서 생겨난 것들이다.

수학 이론이 기대하지도 않았던 곳에 응용되는 것은 그 이론이 애초에 물리 문제 해결을 위해 만들어졌기 때문이지 내면의 영혼과 홀로 씨름하는 현명한 수학자의 예언자적 통찰력 덕분은 절대 아니다.