수학세미나 '현대 수학의 빅 아이디어' 6장 발제문입니다.

무한에 대한 논란을 잠재운 새로운 논리법칙

- 증명할 수도, 반박할 수도 없는 수학의 진술
ZFC(제르멜로 프랭켈 집합론의 공리+선택공리) : 수학의 기본 법칙 역할을 하는 9개의 공리
https://ko.m.wikipedia.org/wiki/%EC%B2%B4%EB%A5%B4%EB%A9%9C%EB%A1%9C-%ED%94%84%EB%A0%9D%EC%BC%88_%EC%A7%91%ED%95%A9%EB%A1%A0
연속체 가설 : 정수의 무한과 수직선의 무한 사이에 다른 종류의 무한이 없다.
https://ko.m.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B0%EC%86%8D%EC%B2%B4_%EA%B0%80%EC%84%A4
https://soojishin.com/archives/lecture-set-theory-skolem-paradox/

- 더 완벽한 공리체계를 찾는 노력은 2013년 ZFC에 추가할 두 가지 후보에 대한 합의를 한다. : 강제법(성) 공리와 내부모형(모델) 공리인 “V=궁극적 L“
강제성 공리가 참이면 연속체 가설은 거짓이고, 내부모델 공리가 참이면 연속체 가설도 참이다. 강제법 공리는 새로운 크기의 무한을 추가함으로써 연속체 가설을 거짓으로 만들었다. ‘마틴의 최대 공리‘라는 강제법 공리의 새로운 용도는 어느 공리를 수용할 것인지에 대한 논란을 일으켰다.
https://ko.m.wikipedia.org/wiki/%EB%A7%88%ED%8B%B4_%EA%B3%B5%EB%A6%AC

-후보들 중 어떤 공리를 선택할지의 문제는 공리의 목적과 수학의 본질에 대한 문제이다. ZFC와 같은 공리 체계는 수학적 우주를 구성하는 ‘집합’이라는 대상을 지배하는 법칙을 제공한다.
- “V=궁극적 L“을 지지하는 사람들은 정수와 연속체 사이의 다양한 무한집합들에 질서를 가져다 줄 것으로 생각했다.

-무한 패러독스 : 칸토어의 집합론
칸토어는 연속체 가설을 집합론의 공리를 이용해서 증명할 수 없었다. 1931년 괴델은 공리가 무모순임을 증명하려면 목록에 포함되지 않은 추가적인 공리가 필요하다는 사실을 보였다. 연속체 가설도 ZFC 공리와 독립적이어서 그것을 증명하려면 ZFC 이상의 무엇이 필요하다.

- 괴델은 공집합에서 시작하여 반복적으로 더 큰 집합들이 거주하는 L을 상상하였다. 조립할 수 있는 모델 우주. 여기에서는 연속체 가설이 참이다.
우딘은 집합으로 구성된 우주의 카오스와 달리 실제로 L은 분석할 수 있다고 말하였다. 이는 V=L (집합 V의 우주=내부모델 L)이라는 진술을 매력적으로 보이게 하지만, 무한 집합들을 모두 망라하기에는 L이 너무 작기 때문에 무한의 본질을 제한한다.
-궁극적 L은 초밀집, 즉 큰 기수를 모두 망라하는 가상적인 내부 모델에 붙여진 이름이다. V=궁극적 L 공리는 그런 내부 모델의 집합으로 구성되는 우주라는 뜻이다.
-내부 모델이 바닥으로부터 집합의 우주를 건설해준다면, 강제법은 그것을 모든 방향에서 바깥쪽으로 확장시켜준다.

수학자들이 유한-무한의 격차를 이어준다.

- 2016년의 증명으로 무한의 개념을 이용하지 않고도 증명될 수 있는 유한적인 것과, 근본적으로 분명하지 않은 가정에 의존하는 무한적인 것을 구분하게 됨
-램지 쌍 정리는 표면적으로 무한한 대상에 대한 진술이지만, 요코야마와 파테이는 유한적으로 환원 가능하다는 사실을 발견했다. 그 결과 유한과 무한 사이의 다리를 만들어주었다. 그것은 유한적으로 환원 가능한 것으로 알려진 무한이 포함된 가장 복잡한 진술이다. 자연수의 집합처럼 대상들이 무한을 숨기고 있다고 생각하도록 요구한다.
-아리스토텔레스는 잠재적 무한(수직선)과 실제적 무한(무한한 대상으로 구성된 완전 집합)을 구분하고 잠재적 무한을 수학의 완벽한 이성적 개념으로 인정했다. 19세기까지는 계산이 불가능한 실제적 무한은 거의 쓸모가 없었다. 
-1870년대 칸토어의 집합론은 수학이 실제 세상으로부터 동떨어진 추상적 세계에 대한 이야기인지에 대한 의문을 제기했다.
-심프슨은 알려진 수학적 정리의 85% 정도가 유한적 논리 체계로 환원될 수 있을 것이라고 추정했다. 그리고 그와 그의 추종자들이 연구한 수천 개의 정리들 중 대부분은 유한-무한 격차의 양쪽 모두를 아우르는 5가지 논리 체계 중의 하나로 환원될 수 있음이 밝혀졌다.
-1995년 슬래먼과 세타푼의 연구(384쪽), 2016년 파테이와 요코야마의 연구(385쪽)

수학자들이 측정하는 무한은 모두 같다.

-1960년대 폴 코언은 연속체 가설이 수학의 공리와 독립적이기 때문에 집합론의 체계 안에서 증명할 수 없다는 사실을 보여주는 강제법을 개발했다.
-모형론(393쪽)에서는 다른 연구가 진행되고 있었다. 모형론은 수학적 정리들을 분류하는 방법이다. 1967년 카이슬러가 복잡성을 측정하는 방법(카이슬러 차수)를 제안한 이후, 쉘라는 더 복잡한 이론과 덜 복잡한 이론을 구분하는 경계선이 존재한다는 사실을 보였다.
-말리아리스와 쉘라는 두 무한의 크기가 똑같다는 사실을 증명했다.