2010.9.2 (목) 서양 철학사 세미나 『수학의 몽상』 7장 오 신 명

7장. 천국의 열쇠 - 산수와 대수의 힘

칼리가리의 예언

1. 대지는 너무도 많은 구멍, 작지만 너무도 많은 빈틈들로 가득하다. 어느 날인가 그 모든 구멍들에서 날카로운 칼들이 솟아오르리라.

2. 삐뚤어진 빛, 삐딱한 광선이 세상을 덮치리니 진리를 말하는 입들이 늘어나지만 삐뚤어진 것이니 진리의 사라짐이라!

3. 감추어진 모든 인간의 욕심보다 더 큰 거대한 수가, 홍수처럼 온 대지를 덮치리니, 인간이 만든 모든 것이 그속에 잠겨 모든 분별이 사라짐이라!

존재한다는 것만으로 충분한

‘대수학의 기본 정리’라고 부르는 것을 증명한 가우스의 박사학위 논문(1799) - 모든 n차 대수 방정식은 n개의 근을 갖는다. - 어떤 방정식의 근이 얼마인지를 찾는게 아니라, 일반적인 형태로 근이 존재하는지를 증명한다는 것이 중요한 주제가 된다.

어떤 근이나 식이 존재한다는 것은 모순이 없어야 한다는 것이다. 이는 19세기 이후 대부분의 수학자들의 태도이며 또 하나 가우스가 보여준 새로운 면모는 그가 증명방법에서 보여준 논리적인 엄밀성과 엄격성이다.

둘째 예언의 수수께끼

기하학의 경우 평행선의 공리를 증명하려는 시도의 실패로 유클리드 기하학과는 다른 종류의 새로운 기하학이 만들어진다. 그 기하학에서는 곧은 공간이 아니라 휘어진 공간을 가정하기에 직선이라는 말 대신에 측지선이란 용어를 쓰며 이는 빛이 이동하는 경로가 된다.

공회전

리만의 기하학의 기초를 이루는 가설에서 모든 평행선은 두점에서 만난다는 가정을 한다. 또한 직선은 끝이 없는 것이지만, 그것은 무한한 것은 아니라고 한다. 그는 곡률이 일정한 공간이 아니라 곡률이 국지적으로 달라지는 임의의 공간에 대해서도 적용할 수 있는 기하학을 제시했다. 리만의 논문으로 기하학의 분열을 치유하고 기하학에서 수학적 진리를 구해야 한다는 문제가 중요한 주제로 떠올랐다.

메피스토 왈츠

첫째 예언은 무한소 개념에 관한 것. 뾰족한 점을 갖는 그래프는 그 뾰족한 점에서 미분 불가능하다. 만약 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분 불가능한 함수가 있다면, 뾰족하게 날선 곡선이 모든 점들을 가득 채우는 함수가 있는가?

셋째 예언은 수의 수를 세는 문제 - 무한대에 2를 곱하면 무한대의 2배가 되나?

위기의 해결책들

해석학을 산수의 일종으로 만든다면 해석학의 모든 문제는 사라지지 않겠나? 극한 계산으로 할 것을 단지 부등식으로 바꾸는 것뿐이 아닌가?

기하학과 불변성

기하학에는 연산은 없지만 변환이 있다.

1.합동변환 : 원점을 축으로 회전 이동 , 선분의 길이나 각의 크기, 도형의 면적. 형태 동일

2.닮음변환 : 길이나 면적 변함. 각의 크기, 형태, 평행선과 수직선은 변화 없음

변환을 대수학의 연산처럼 생각해서 불변적인 특징을 찾아낸다. 즉 유클리드 기하학이든 로바체프스키 기하학이든 합동 변환에 대해 불변성을 연구하는 기하학의 부분들이 된다.

모든 점을 첨점으로 바꾸는 방법

랭스 대성당 처럼 모든 점들이 뾰족한 첨점들로 가득한 곡선이 만들어지는 함수가 가능함. - 해석학을 산수화 한다는 발상의 관심은 산수의 자명함과 확고함을 확신해서임.

수의 수를 비교하는 문제에 대해서 대부분 어이없어함. 무한대를 비교하려는 시도 자체가 무의미함. 그러나 공리주의에 대해서는 매우 강한 관심을 가짐. 모든 수학적 명제들을 공리적 질서에 따라 정리하는 방법은 사실이미 충분히 익숙한 것이기도 했거니와 어떤 수학적 이론을 체계화하려는 순간 누구도 피할 수 없는 현실적인 문제이기도 했기 때문일 것이다.

수학과 도

수학의 위기란 어찌 보면 다양하고 창의적인 고안들이 서로 충돌하거나 내부에 모순을 드러내거나 해서 나타나는 것이었으니, 위기에 대처하는 사람들로서는 모순 없이 명료하게 정리하는 방법에 관심을 갖는 것은 당연한 일인지 모른다. 히지만 엄밀성과 무모순성에 대한 추구가 실제로 야기한 것은, 모순을 일으키는 것들을 ‘존재하지 않는 것‘으로 내쫓아버리는 것이거나, 유용하고 중요해서 쫓아 버릴 수 없던 것은 엄밀해 보이는 다른 말로 바꾸는 것이 아닌가?

엄밀성과 무모순성, 이는 지금까지 ‘위기’에서 벗어나야 한다는 막연한 생각에서 내 스스로 그 주위를 돌며 떠나지 못했던 중력의 중심이었던 게 아닐까?

위기를 막기 위해 모든 구멍을 막고 메워 없애려는 집요한 집착이야 말로 위기의 원인이 아니었을까?

수학을 하되 수학에 매여서는 안 된다는 스승의 말이 생각났다. 그것은 자유로운 삶에 이르는 방편 중 훌륭한 하나이지만, 내가 자유로워질 수 있는 것은 바로 그것조차 버릴 수 있을 때라는 말이었던 거다.