수학세미나 매주 월요일 아침 아홉 시 반입니다. 내일 진도 발제문 올립니다.
이번 주 책거리하고, 다음 주부터 함께 읽을 새 책을 선정합니다.
언제든지 새로 참여하실 수 있습니다. 책을 정하는대로 다시 공지 올리겠습니다. (유클리드의 창-위튼.hwp)
수유너머N/ <수학세미나>/ 유클리드의 창: 기하학 이야기/ 레오나르도 믈로디노프 지음/5장 정리
29. 이상한 혁명
아인슈타인의 발견에 따라 이제 공간과 시간은 물질의 상태에 따라 변형될 수 있다. 하지만 이후에 이어지는 새로운 물리학 ‘끈이론’에 따르면, 공간에는 추가적인 차원이 있다. 그리고 이 차원들의 위상학이 그 안에 존재하는 것들을 결정한다. 끈이론은 ‘M이론’으로 진화하는데, 여기서는 공간과 시간이 사실상 존재하지 않으며, 있다면 그것은 무언가 보다 복잡한 것의 근사치일 뿐이다. 이는 엄밀한 이론이 아닐지라도 이미 수학과 물리학을 바꾸어놓았다. 끈이론이 등장하면서 물리학은 수학에 더욱 가까워졌다. 끈이론과 M이론이 바로 이론 자체의 수학적 구조를 발견하는 방식으로 발전해왔기 때문이다.
30. 내가 당신의 이론에서 싫어하는 것 열 가지-제거불가능한 결점들 때문에 슈바르츠는 끈이론을 사랑한다.
슈바르츠는 양자 이론과 상대성 이론을 결합하려했다. 양자 이론은 플랑크의 에너지 준위 양자화 발견 수십년 후 1927년 오스트리아 슈뢰딩거의 ‘파동역학’과 독일 하이젠베르크의 ‘행렬역학’이라는 새로운 이론을 만들어낸다. 이들의 이론과 아인슈타인의 일반 상대성 이론 사이의 차이점은 바로 보편화 가능성이다. 아인슈타인은 뉴턴의 신념인 결정론을 유지했고, 정보와 체계가 주어지면 어떤 사건이든 계산가능하다고 보았다. ‘주사위 놀이’를 하지 않는 신(아인슈타인), 완전한 신 혹은 자연이 있을 뿐이다. 그러나 양자역학은 불확정성의 원리(uncertainty principle)를 따른다.
31. 존재의 필연적인 불확정성
고전 역학과 양자 역학의 차이. 고전 역학에서 물리학자들은 이것이 숨은 변수를 찾지 못한 이론상의 한계이지 자연의 한계가 아니었다. 그러나 양자역학은 자연의 미결정성이 현실임을 보여주었다. 1964년 미국의 벨이 숨은 변수를 배제하는 실험에 성공하여 이제 한계는 물리학의 법칙 안에서 찾을 수밖에 없게 된 것이다. 측정할 때의 미세한 항목들 때문에 측정값은 매번 달라진다. 하지만 양자 역학에서 말하는 불확정성은 이게 아니다. 그것은 어떤 특성들의 상보적인 쌍 때문에 일어난다.(상보성의 원리) 이런 상보적인 쌍들의 정확도 한계 이상에서의 값이 바로 미결정이다. 상보적인 쌍들 중에는 위치-운동량 쌍이 있다.
“거시세계에서 우리가 어떤 물체를 본다는 것은 그 물체에서 튕겨 나오는 빛을 보는 것이다. 미시세계도 마찬가지여서 예컨대 전자의 위치를 알아내려면 그 전자에 빛을 쪼여 그 빛이 튕겨 나오는 양상을 분석하면 된다. 이때 전자의 위치에 대한 해상도를 높여 위치의 불확정성을 낮추려면 파장이 짧은 빛을 이용해야 한다. 짧은 파장을 가진 파동은 그만큼 짧은 거리를 탐색할 수 있기 때문이다.
그런데 파장이 짧은 빛은 그만큼 높은 에너지를 가지고 있다. 파장이 짧은 자외선이나 혹은 X선의 투과력이 높은 것을 생각하면 된다. 만약 전자의 위치를 정확하게 측정하기 위해 짧은 파장의 빛을 쬐면 빛의 높은 에너지가 전자에 전달되어 전자의 운동량의 불확정성은 그만큼 늘어난다. 반대로 전자의 운동량을 정확하게 측정하기 위해 긴 파장의 빛을 쓰면 그만큼 해상도가 떨어지기 때문에 전자의 위치에 대한 불확정성은 늘어난다.”
질량을 제외한다면 운동량은 물체의 속도이다. 따라서 하나의 오차범위가 작아지면 다른 오차범위는 커진다. 속도를 확정하면 위치의 확정성에 한계가 설정된다. 이 두 오차범위를 곱한 결과는 플랑크 상수보다 크게 나온다. 오차 범위가 너무나 작아 그것은 19세기 말까지 문제시되지 않았다. 하지만 질량을 제외하지 않는다면? 전자의 질량은
32. 거장들의 충돌
일반상대성이론과 양자역학은 극미시 영역(
상대성이론은 태양과 지구 사이의 빛의 이동 속도 등 거시적 현상을 관찰하였고 공을 세웠으나, 입자 단위에 대해서는 검증되지 않았다. 그리고 기본 입자들의 질량은 너무 작아서 중력의 영향을 측정할 수 없다. 극미시적 영역에서는, 자기 안으로 감겨있는 다른 차원들이 있다고 여겨진다.
33. 칼루차-클라인 병에 담긴 편지
아인슈타인은 일반 상대성 이론을 변형하여 전자기력의 기술까지 설명하고자 했다. 그런 그에게 칼루차가 한 통의 편지를 보낸다. 그에 따라 “5차원 원통세계”를 도입하니 중력 이론 속에서 전자기장에 관한 맥스웰 방정식이 도출되었다. (물론 부가된 차원의 메트릭을 물리적인 전자기장으로 해석하기 위해서는 또 다른 이론적 작업이 필요하다.) 칼루차에 따르면 이 새로운 차원은 새로운 위상, 즉 직선이 아닌 원(‘호스’)의 위상을 가진다. 그것은 자기 자신에게 되돌아가 닫히는, “감긴” 모양을 가진다. 칼루차 이론의 핵심은 중력과 전자기력이 사실은 어떤 동일한 것의 성분들로서, 이는 우리가 사물들을 공간의 네 번째 차원에서 측정불가능한 운동들을 평균한 상태에서 관찰하기 때문에 달라 보일 뿐이라는 것이다.(253) 1926년 클라인은 더 개량된 형태의 이론을 내놓는다. 입자의 운동은 오직 입자가 5차원일 때 운동량이 특정한 값들일 때 올바른 방정식을 산출한다. 결과적으로 날루차-클라인 이론은 두 이론의 형식적 연결로, 새로운 이론을 창출하지는 않았다. 5차원이 야기하는 기괴한 예축들 앞에 물리학자들은 이론에 대한 흥미를 잃는다.
34. 끈의 탄생
1967년 여름 당시 물리학계의 최첨단 화제는 기본 입자 연구방식인 S-행렬(scattering-matrix)이었다. 하이젠베르크가 발명한 S-행렬기법은 60년대에 이미 최고의 방법이었다. S-행렬은 (충돌하는 입자들의 종류, 운동량 등의) 입력을 받아들이고, 충돌에서 발생하는 입자들에 관한 종류의 자료를 산출한다. S-행렬을 구성하려면 원칙적으로 입자의 상호작용 이론이 필요하다. 겔만은 하드론들의 충돌에서 놀라운 규칙성들이 발견되어 이를 이중성(duality)이라 불렀다. 베네치아노는 여기에 영향을 받아 S-행렬의 모든 수학적 속성들을 오일러 베타 함수 안에 모두 넣었다.
1970년 요이치로 남부, 닐슨, 수스킨트는 이어서 기본입자들을 점으로 보지 말고, 진동하는 작은 끈으로 보기 시작했다. 이들은 끈이론을 발견한 것이다. 에너지 준위가 양자화될 수 있다는 것, 또는 입자가 끈으로 모형화될 수 있다는 것을 발견한 것이다.
35. 입자들, 흔해빠진 입자들!
촉망받는 학자 제프리 추는 장 이론(field theory)이 옳지 않으며 기본 입자들을 잃어버렸다고 비판했다. 문제는 1932년 두 종류의 입자가 발견되면서 시작된다. 양전자(positron, 전자의 반입자)와 중성자(neutron, 핵의 새로운 구성물, 양성자와 같으나 전하량 없음) 뒤이어 반-물질(anti-matter), 원자의 핵 속에서 중요한 역할을 하는 새로운 힘 강한 힘(strong force)과 약한 힘(weak force) 등 새롭게 발견되는 입자들이 폭증했다.(*발제문 p.5. 표 참조) 물리학자들은 입자들의 생성과 소멸을 기술하는 소위 양자장 이론(quantum field theory)를 개발한다. 이 이론은 입자들의 상호작용이 모두 ‘전령입자’의 교환을 통해 가능하다고 말한다. 전자기력의 전령입자는 광자(photon)이다.
성공적인 양자장 이론 셋-오늘날의 표준 모델
1. 1940년대 파인먼, 슈윙거, 도모나가 전자기장 이론.
2. 1970년대 전자기장과 약한 힘 중 하나를 통합한 이론/ 3. 강한 힘에 관한 양자장 이론
전령입자//물질입자 -족(family)-각 족 안에는 네 가지 유형 입자(전자유형/뉴트리노/쿼크1/쿼크2)
그러나 표준 모형은 아름답지 않다. 왜 구성이 이러한지, 각각의 힘의 크기가 어떠한지에 대해서도 설명이 없다. 힘의 크기는 소위 쌍연결 상수(coupling constant)로 코드화 되어 있을 뿐.(263)
끈이론가들은 이 모형이 근본이란 생각에 반기를 든다. 이들의 목표는 입력 상수를 확정하는 것이 아니라 일반적인 원리를 통해 이론을 완벽히 정의하는 것이었다.
끈이론의 끈이란 무엇인가? 끈은 물질적으로 구성된 게 아니기에 무엇으로 이뤄졌는지 말할 수 없다. 반면 모든 것이 끈으로 이뤄져 있다. 끈들은
공간의 위상학이 끈이론에 미치는 영향은? 원통은 평면과 연결상태, 위상에서 다르다. 평면에서는 폐곡선을 점점 줄여 점으로 만들 수 있지만, 원통의 축을 한바퀴 감는 폐곡선은 이렇게 줄일 수 없다. 이런 유형의 끈이 원통공간에서 가질 수 있는 진동 상태는 평면공간일 때와 다르다. 따라서 끈이론에서는 우주가 원통 공간일 경우 다른 유형의 입자와 힘들이 나온다.(268) 문제는 여기서 도넛 공간, 구멍이 여럿인 도넛 공간 등도 구상할 수 있다는 점이다. 차원이 추가되고 위상이 늘어날수록 가능한 공간들 역시 매우 복잡해진다. 5차원은 너무 단순하다고 여겨지게 될 정도이다. (칼라비-야우 공간, 269)
36. 끈이론의 문제점
끈이론은 어떤 과정이 일어날 확률을 음수로 내놓는가하면, 보손 끈과 하드론의 대응을 너무나 정확히 보이기도 한다. 난처한 문제 하나 더. 양자역학에서 모든 입자들은 두 개의 유형은 보손(boson) 페르미온(fermion)이다. 물질은 페르미온으로 이뤄지고, 힘의 전달과 관련이 있는 전령 입자들은 보손이다. 그런데 보손 끈 이론에서는, 모든 입자들이 보손이다.
1971년 초대칭성(supersymmetry) 이론은 보손과 페르미온을 연결한다. 슈바르츠와 느뵈도 공동으로 회전 끈이론(spinning string theory)을 개발, 이를 넘어선다. 1976년 셰르크를 비롯한 학자들이 끈이론과 초대칭성을 통합하는 작업 끝에 초끈(superstrings) 이론을 탄생시킨다.
37. 과거에 끈이론이라고 부르던 이론
1990년대초 끈이론의 대중적 인기는 수그러들었다. 이론에서 도출된 보다 새로운 예측이 없었고, 끈이론들이 다섯 가지나 있다는 사실 때문이었다. 자연을 기술하는 유일한 이론이 다섯 개나 있다는 것은 추한 상황이다. (스트로밍거)
에드워드 위튼이 있다. 그는 다섯 개의 끈이론들이 소위 M-이론(membrane, 膜)이라는 단일 형태의 근사형태들이라 선언한다. M-이론에 따르면 끈은 사실상 기본 입자가 아니며 (맴)브레인의 다른 형태들이라는 것이다. 브레인은 고차원적인 끈이며, 끈은 1차원적인 브레인이라 할 수 있다. M-이론에는 감겨있는 차원 하나가 더 추가되어 전체 차원은 11차원이다. 그리고 기이하게도 M-이론에서는 시간과 공간이 존재하지 않는다. (282) M-이론으로 이를 추론하면, 우리가 위치와 시간이라고 지각하는 것, 즉 끈이나 브레인의 좌표들은 사실상 수학적 배열(행렬)일 뿐이다. 오직 끈들이 서로 멀리 떨어져 있을 때만 근사적으로 행렬과 좌표는 유사해진다는 것이다. 이 발상은 블랙홀의 물리학과 관련된 충격적 예측을 가져온다. 1996년 스트로밍거와 베이퍼는 M-이론을 이용, 특정한 종류의 블랙홀을 만들어냈다.
앞으로 M-이론이 실험적으로 검증되기 위해서는 초대칭을 이루는 입자들을 열 개 정도 발견해야 한다. 다른 하나의 검증으로는 중력법칙의 편차를 발견해야 한다. 다만, 오늘날에는 한 세대 물리학자들 전체가 자연 속에서 그의 끈들을 보며, 슈바르츠는 이 이론이 아무 소용 없기에는 너무도 아름답다고 말한다. 유클리드는 자연을 2차원의 기하학으로 추상화했다. 데카르트(오렘)는 좌표기하학을 통해 기하학적 공간을 대수화했다. 이들은 기하학의 일대 지각변동을 가져왔다. 위튼의 M-이론이 하나의 성공한 이론으로 남을지, 에테르 실험처럼 뜬구름 잡는 이야기가 될지는 두고볼 일이다.