▶기획세미나자료 :: 기획세미나의 발제ㆍ후기 게시판입니다. 첨부파일보다 텍스트로 올려주세요!


*루트기호가 홈페이지에서 안보이네요;; 밑의 pdf 파일로 봐주세요 :)

김지수. 수학의 모험 에세이 <

 

 

수학의 모험_에세이

 

 

자기고백으로 에세이를 시작한다면, 나는 스스로 수학을 쫌 한다고 생각하는 학생이었다. 그리고 그 ‘비법’은 ‘잘 받아드림’으로 여기고, 장점이라 생각했다. [수학의 모험]세미나를 하며, 얻게 된 가장 큰 이득은 나의 이러한 장점을 파괴한 것이다. 비수학관련자?들과 수학관련자가 함께한 이 세미나에서는 다양한 질문과 의문들이 가능했다. 내가 한 질문중, 가장 기억에 남는 것은 “물체의 운동을 다항함수로 표현할때, 그 함수가 연속한다고 어떻게 당연시 하는가. 즉, y=2x 의 운동그래프가 ‘1초 간격의 연사촬영’을 근거로 그려진다 했을때, (1,2), (2,4) 인것이. (1.5, 3)임을 어떻게 증명하는가.” 였다. 질문 이후, 나는 ‘연속한다’라는 말에 관심을 가지게 되었다. 

 

“실수는 연속한다.”

인간이 연속하게 만들었으니, 그럴 것이라고 생각한다. 또한 이는 ‘완비순서체의 공리계’ 그리고 ‘데데킨트의 절단’등으로 정의 되고, 존재성을 증명하였다고 한다.  내가 의문을 갖는 지점은, 실수가 연속하는가.라는 문제보다는 실수를 ‘연속하게’만든 의도는 무엇인가. 나는 실수라는 연속체에서, 왠지 모를 의도힘에 대한 의도가 느껴졌다. 모든 것을 수로 나타낼것이라는 의도, 수로 치환할 수 있다는 자신감이 느껴졌다. 그리고, 연속이라는 것은 어떻게 정의되는가 또한 궁금해졌다. 

실수의 연속성에 대해서,‘수알못’의 공상같은 의문이라 생각했는데, 이를 진지하게 연구한 논문들을 찾을 수 있었다. 여기서 나는 ‘치안경찰’의 성실함을 느꼈다. 그 치안경찰들이 수학의 창조력을 더디게함과 동시에, 없어서는 안 될 뒷받침이 되어준다고 느꼈다. 더불어, 처음 접하는 분야인 ‘수학교육학’에 대한 논문을 읽게 되었다. 중, 고등의 수학교육과정 내에서 ‘자명하게’ 배우는 “실수는 유리수와 무리수의 합집합이다” 에 던지는 의문을 드러낸 글 이었다. 그리고 그 교육과정과, 교사가 갖고있는 자명성은 예비교사이자, 교육과정을 거쳐온 수학교육학 학생들의 응답으로 드러내었다. 나에겐 학교선생님이었던 이들이 나와 같은 교육과정을 밟은 ‘예비교사’라는 사실이, 그리고 선생님들의 노력이 새삼 다가왔다. 

위의 논문에서는, 무리수의 존재이유를 수학적으로 정당화 하기 위해서는, 학교수학 법위를 벗어나는 완비성 공리가 필요하기에, 교수학적 공백, 즉 난점이 있다고 말하며 서두를 연다. 그러고선 예비 교사들에게 가상학생, 소민이의 질문, “0.101001000… 이라는 기호를 생각할 수 있다는 것이, 이 기호가 나타내는 수가 정말 있다고 주장할 수 있는 근거가 될 수 있는 건지 모르겠어요, 설사 그렇다 하더라도 이 수가 ‘0.101001000…에 대응하는 수’ 이외에 어떤 다른 쓸모가 있는 지 모르겠어요”를 던지며, 어떻게 설명할 것인지를 물었다. 우선 나는 이 질문이 매우 새로웠으며, 이에 대한 예비교사들의 답변(어떤 방정식의 해가 될수도 있기에 필요하다, 수직선을 가득 채워야 하기에 필요하다, 0,101001000… 라는 기호가 있기에 존재한다[1], 실수 (real number) 이기에 실재하다.)들이 비록 ‘수학적 정당성’에는 한계가 있지만, 그 다양한 설명들이 흥미로웠다.[2]

교수학적 공백에 대해 좀더 살펴보자면, 1997년에 bronner은 학교수학에서 를 무리수 혹은 실수라는 ‘새로운 수’라는 용어의 도입전에 ‘제곱해서 2가 되는수’로 먼저 배움을 지적한다. 또한 이것이 이후에 등장하는 무리수의 존재를 정당화하는 역할을 하고 있다고 보았다.[3]  더불어,  라는 기호의 사용이 ‘제곱해서 2가 되는 수’의 존재성을 함의하는 것은 아니라고 dibali는 말하며(2004), 해석학을 배우는 대학생들이 ()*()=2 를 만족하는 기호 에 친숙하기 때문에, 왜 완비성공리를 이용하여 제곱하여 2가 되는 실수가 존재한다는 것을 증명해야 해야 하는 지를 받아들이기 어려워 한다고 한다.

 

“무리수, 순환하지 않는 무한소수”

에 대한 의심을 하기시작하니, ‘무리수’ 라는 것에 새로운 의문이 생겼다.  중고등과정에서 무리수는 ‘순환하지 않는 무한소수’로 정의된다. 더불어 그 예시는 π, ,등 ‘유명한’수와 0.101001000… 과 같은 순환없는 나열규칙이 있는 무한소수를 들고 있다. 그렇다면, 순환규칙이 없는 소수점 이하의 나열이 무한한 수(나열의 모습을 생각해 보면 순환하지 않는 수가 더 ‘많을’것이라 생각한다), 이것이 순환하지 않는 다는 것은 어떻게 증명하는 걸까? 그 많은 수를 다 증명하고 있을 수도 없고… 이렇게 되니, ‘무리수’의 정의에 있어 나의 머릿속에서 가장 중요했던 ‘유리수’와의 구분에 의문이 생겼다. ‘이해’했던 무리수의 개념이 깨져버렸다. 

중 고등과정에서의 무리수 학습의 어려움을 다룬 연구(zazkis & sirotic, 2007)에서는 학교수학에서의 무리수 정의가 수학적 표현과 강하게 연결되어 있기때문이라고 지적한다. 이들은 이에 대한 대안으로 무리수의 기하학적 표현을 학습할 것을 제안하고 있다. 이에 최은아, 강향임은 그들의 논문에서 무리수의 다채로운 표현양식들을 분류하고, 제안한다. 이 제안 방식안에서 무리수는 그 ‘실무한 속성’을 드러내기도, 감추기도한다.

 
   

5CE56047-8FF8-4A0B-BE10-7E918C9F50F0.jpeg

무리수와 표현들에 대한 감상적인 느낌을 적어내려간다면. 기하표현, 예를 들어 각변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이,, 를 바라보았을때, 눈에 보이고, 실재하지만, 유리수가 될 수 없는, 부적합한 존재라는 생각이 들었다. 발견의 당혹스러움이 느껴졌다. 또한, ‘실수는 무한소수이다’[4] 라는 표현아래 실수체계는 사칙연산이 통하는 집합군이 된다. 이처럼 함수값 표현으로의 무리수는 ‘실수’라는 집합을 완전하게 해주기에, 이상하지만, ‘실수’라는 집합으로 넣어준 개제들인 것 같다. 

무리수는 유리수가 되지 못한 개체들일까. 그들이 ‘실수’라는 집합을 완전하게 해주는 외에 어떤 존재가치를 가지고 있을까. 유리수에 기대지 않는 무리수의 존재가치는 무엇일까. 문뜩 헤러웨이의 ‘공생’이라는 개념이 떠오른다. 무리수의 고유의 가치를 찾는 나의 습관적인 사고방식에 대해 생각해 보게 된다. 

에세이를 시작했던 물음과 멀어져 진행된, 마무리가 되지 않은 듯한 느낌이 들기도, 또 일단의 목적 ‘수학의 몽상’을 실현한 것 같기도 하다는 느낌, 이대로 마무리를 해도 될까하는 머뭇거림이 있다. 세미나를 통해 답을 찾는, 시험점수가 아닌 수학공부를 하다보니, 언어에서 느끼지 못한 자유로움이 느껴졌다. 왠지 수학의 기호들은 ‘약속’들 뿐이라고 느껴져서, 보다 인공물적으로 느껴졌기 때문이지 않을까, 생각한다. 또한 모르는 것에 대한 부끄러움도 적기에 ‘바보스러움’에 대해 걱정을 덜하며 터무니없는 질문들을 던질 수 있었다. 인공물이라는 믿음, 나도 너도 새로운 단어를 만들어 낼수 있다는 믿음, 들뢰즈가 말하는 탈주선의 극한, 그 고원을 경험해 본 것 같기도하다. 

 

참고자료

  1. 이지현, 유리수와 무리수의 합집합을 넘어서 실수가 자명하다는 착각으로부터 어떻게 벗어날 수 있는가?, 수학교육학연구 25호, 2015
  2. 최인아 강향임, 예비교사의 무리수의 개념과 표현에 대한 이해, 학교수학 18호, 2016
  3. 이지현, 예비교사들은 0.99…<1 라는 주장을 어떻게 반박하는가?, 학교수학 16호, 2014
  4. 강대원 김권옥, 에우독소스의 비례론과 데데킨트의 실수계에 관한 고찰, 한국수학사학회지 22권, 2009
 

[1] 이지현은 이를 기호 패시티즘이라고 지적한다.

[2] ‘수학적 정당성’ 이라는 용어가 새롭고, 생각을 이어지게 한다. ‘정당성 확보’의 인간적인 행위가 수학에 있다는 사실이 재미있다. 

[3] ()*()=2 로 무리수의 존재를 증명하는것의 문제는, 유리수가 아닌 실수 중에서 ,, … 와 같은 유리계수 방정식의 해가 아닌 초월수가 훨씬 더 많기 때문에 부분적인 설명에 불가함에 있다. (bloch,2011)

[4] 단, 여기에는 유한소수를 0이 순환하는 무한소수로 해석하는 전제가 필요하다.

번호 제목 글쓴이 날짜 조회 수
공지 [에세이자료집] 2020니체세미나 :: 비극의 파토스, 디오니소스 찬가 [2] oracle 2020.12.21 211
공지 [에세이자료집] 2019니체세미나 :: 더 아름답게! 거리의 파토스 [2] oracle 2019.12.19 507
810 청인지 - 노마디즘1 - 3장 온라인 모임 후기 new shark 2021.09.23 4
809 청인지-노마디즘 3장, 3-5 발제 cla22ic 2021.09.18 45
808 청인지 노마디즘 1 - 3장 1, 2절 발제문 시체 2021.09.17 48
807 청인지 노마디즘 1 - 2장 온라인 후기 M 2021.09.12 40
806 청인지 노마디즘 2장 오프라인 후기 cla22ic 2021.09.12 39
805 청인지11. 노마디즘 2장 3-4절 라온제나님 발제문 file jaerim 2021.09.11 24
804 [노마디즘1 세미나] 2장 3~4절 발제 file 라온제나 2021.09.11 16
803 9/11 청인지 노마디즘 2장 1,2절 발제 file 지현 2021.09.11 41
802 청인지 노마디즘1_2주차_오프라인 후기 [1] file 유수 2021.09.08 48
801 청인지 노마디즘 1 - 1장 온라인 후기 [5] 시체 2021.09.05 68
800 청인지_노마디즘1, 1장 발제 [1] file 지수지구 2021.09.04 32
799 9/4 노마디즘1 -1장 발제문 file 김구름 2021.09.04 47
798 청인지 노마디즘 1 - 0장 모임후기 [2] 주현 2021.09.02 59
» 청인지 10. 수학의 모험 에세이 file 지수지구 2021.07.23 79
796 청인지 10 수학의 모험 에세이 file M 2021.07.17 48
795 청인지 에세이(우디, 재림) file jaerim 2021.07.17 70
794 청인지10 수학의 모험 에세이 file 둥글래 2021.07.17 35
793 청인지10 수학의 모험 에세이 유수 2021.07.17 43
792 청인지10 수학의 모험 에세이 file 아침마루 2021.07.16 41
791 청인지10 수학의 모험 에세이 file 고키 2021.07.16 170
CLOSE