이번시간에는 아라비아 수학과 중세 / 르네상스의 수학이 어떤 형태였고 어떻게 형성되었는지 살펴보았습니다.

발제 내용은 첨부로 하고, 세미나 중간에 제기되었던 질문 혹은 쟁점을 서술하겠습니다.

1. 기하학과 대수학의 관계

   아라비아 수학에서는 대수학적 문제를(방정식) 기하를(작도) 통해서 해결하는 방식이 주류를 이루었습니다. 당시에는 대수학의 여러가지 추상이(교환법칙, 결합법칙, 분배법칙) 개발되었지 않은 것으로 보입니다. 따라서 이차방정식 문제에서 양의 실수인 2개의 근은 인정하지만 작도로 나타낼 수 없는 음수 혹은 허수는 근으로 인정하지 않았습니다. 이는 대수적 연산과 작도가 동일한 것으로 사유됨으로서 발생하는 것입니다. 하지만 이렇게 대수와 기하를 연결짓는 사고는 후에 데카르트 좌표계 개념이 도입되면서 해석기하로 확장됩니다. (여기서는 음의 근이 인정됩니다. 하지만 허수근은 인정되지 않습니다.)

2. 수학적 추상화 혹은 개념 생성의 요인들

   사고의 체계를 어떻게 구조화 하느냐, 문제를 어떻게 바라보느냐에 따라서 수학적 결론은 달라지게 됩니다. 작도의 시각으로 본 방정식에서의 근의 개념과 음수, 실수, 허수로 확장되는 숫자의 개념이 "요청"될 때에 대수적으로 바라본 방정식의 근의 개념은 달라질 수 있습니다.

   또 도시의 탄생, 교회의 몰락, 대학의 자치권 획득 같은 사건은 중세에 제한적으로 사용되던 수학담론을 활성화 시키고 여러가지 연구들을 가능케 했습니다. 이처럼 역사 혹은 사회 혹은 산업, 생활이 요청하지 않은 문제의식 혹은 수학적 구조는 지배적인 수학담론이 될 수 없습니다. 추상화의 방식이나 수준을 결정짓는 것은 수학 연구자 사회 내적 요인 이외에도 여러가지 요인이 있습니다.

   한편으로 수학에서의 사고와 당대의 다른 학문들의 논점이 비슷하거나 영향을 주고받은 부분도 존재합니다. -> 피타고라스 학파와 같이 수학을 신학적 용도로 사용하던 사회에서는 수학이 진리의 추구였지만, 비유클리드 기하학이나 칸토르의 무한개념이 등장하면서 공리계가 선택의 문제로 재해석되기 시작합니다. 이런 사유는 하나의 진리를 부정하는 사유(니체)와도 닮아있습니다. 그리고 통계역학, 상대성이론, 양자역학과 같은 새로운 방식의 구조화에도(패러다임 변환) 영향을 미치게 됩니다.

   따라서  "수학 사용자"는 이런 추상화의 수준을 자신의 사용에 알맞는 구체적인 구조를 선택하거나 생산할 수 있습니다.

3. 표상없는 사유

   괴델의 불완전성 정리의 경우 수학의 완전성을 입증하기 위해 시작되었지만 오히려 무모순인 명제들을 나열하더라도 참인지 거짓인지 판단이 불가능한 명제가 존재함을 밝혀내게 됩니다.  이를 통해 어떤 기본적인 공리들을 통해 지식들의 위계를 만드려는 시도에 한계가 존재함이 밝혀지게 되고 이것은 수학의 진리성이나 정합성을 비판하는 담론을 생성하게 됩니다.(수학은 규칙을 정해놓고 하는 게.임이다.) 이처럼 어떤 목적성이 없이 생각이 만들어낸 구조에서 의도치 않게 튀어나오게 되는 사유가 있습니다. 이것은 경험과학과 같이 사유의 정당성이나 원천이 외부의 사건에 의해서 부여되는 것과는 다른 형태로 보입니다.

    다른 예시로 어떤 예술적 활동이 평론이나 학문에 의해서 재해석 되고 그것이 다시 예술적 활동에 피드백이되어 심화된 작업을 하게 되는 경우가 있습니다. (보충설명 부탁드립니다 ㅠㅠ)

이상입니다.

다음 간식은 제가 준비하겠습니다 ㅋㅋ